別再發(fā)愁MBA聯(lián)考中的數(shù)列類難題
2015-12-10 11:15 | 太奇MBA網(wǎng)
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一、等差數(shù)列
一個等差數(shù)列由兩個因素確定：首項a1和公差d。
得知以下任何一項，就可以確定一個等差數(shù)列(即求出數(shù)列的通項公式)：
1、首項a1和公差d
2、數(shù)列前n項和s(n)，因為s(1)=a1，s(n)-s(n-1)=a(n)
3、任意兩項a(n)和a(m)，n，m為已知數(shù)
等差數(shù)列的性質(zhì)：
1、前N項和為N的二次函數(shù)(d不為0時)
2、a(m)-a(n)=(m-n)*d
3、正整數(shù)m、n、p為等差數(shù)列時，a(m)、a(n)、a(p)也是等差數(shù)列
例題1：已知a(5)=8，a(9)=16，求a(25)
解： a(9)-a(5)=4*d=16-8=8
a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40
a(25)=48
例題2：已知a(6)=13，a(9)=19，求a(12)
解：a(6)、a(9)、a(12)成等差數(shù)列
a(12)-a(9)=a(9)-a(6)
a(12)=2*a(9)-a(6)=25
二、等比數(shù)列
一個等比數(shù)列由兩個因素確定：首項a1和公差d。
得知以下任何一項，就可以確定一個等比數(shù)列(即求出數(shù)列的通項公式)：
1、首項a1和公比r
2、數(shù)列前n項和s(n)，因為s(1)=a1，s(n)-s(n-1)=a(n)
3、任意兩項a(n)和a(m)，n，m為已知數(shù)
等比數(shù)列的性質(zhì)：
1、a(m)/a(n)=r^(m-n)
2、正整數(shù)m、n、p為等差數(shù)列時，a(m)、a(n)、a(p)是等比數(shù)列
3、等比數(shù)列的連續(xù)m項和也是等比數(shù)列
即b(n)=a(n)+a(n+1)+。。。+a(n+m-1)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列。
三、數(shù)列的前N項和與逐項差
1、如果數(shù)列的通項公式是關于N的多項式，最高次數(shù)為P，則數(shù)列的前N項和是關于N的多項式，最高次數(shù)為P+1。(這與積分很相似)
2、逐項差就是數(shù)列相鄰兩項的差組成的數(shù)列。
如果數(shù)列的通項公式是關于N的多項式，最高次數(shù)為P，則數(shù)列的逐項差的通項公式是關于N的多項式，最高次數(shù)為P-1。
(這與微分很相似)
例子：
1，16，81，256，625，1296 (a(n)=n^4)
15，65，175，369，671
50，110，194，302
60，84，108
24，24
從上例看出，四次數(shù)列經(jīng)過四次逐項差后變成常數(shù)數(shù)列。
等比數(shù)列的逐項差還是等比數(shù)列
四、已知數(shù)列通項公式A(N)，求數(shù)列的前N項和S(N)。
這個問題等價于求S(N)的通項公式，而S(N)=S(N-1)+A(N)，這就成為遞推數(shù)列的問題。
解法是尋找一個數(shù)列B(N)，
使S(N)+B(N)=S(N-1)+B(N-1)
從而S(N)=A(1)+B(1)-B(N)
猜想B(N)的方法：把A(N)當作函數(shù)求積分，對得出的函數(shù)形式設待定系數(shù)，利用B(N)-B(N-1)=-A(N)求出待定系數(shù)。
例題1：求S(N)=2+2*2^2+3*2^3+。。。+N*2^N
解：S(N)
=S(N-1)+N*2^N
N*2^N積分得(N*LN2-1)*2^N/(LN2)^2
因此設B(N)=(PN+Q)*2^N
則 (PN+Q)*2^N-[P(N-1)+Q)*2^(N-1)=-N*2^N
(P*N+P+Q)/2*2^N=-N*2^N
因為上式是恒等式，所以P=-2，Q=2
B(N)=(-2N+2)*2^N
A(1)=2，B(1)=0
因此：S(N)=A(1)+B(1)-B(N)=(2N-2)*2^N+2
例題2：A(N)=N*(N+1)*(N+2)，求S(N)
解法1：S(N)為N的四次多項式，
設：S(N)=A*N^4+B*N^3+C*N^2+D*N+E
利用S(N)-S(N-1)=N*(N+1)*(N+2)
解出A、B、C、D、E
解法2：
S(N)/3!=C(3，3)+C(4，3)+。。。C(N+2，3)=C(N+3，4)
S(N)=N*(N+1)*(N+2)*(N+3)/4
